Matematica discreta Esempi

$a (n) = \frac{n + 1}{n + 3}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, n + 3$

Passaggio 1.2

Rimuovi le parentesi.

$1, n + 3$

Passaggio 1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$n + 3$

Passaggio 2

Moltiplica per $n + 3$ ciascun termine in $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $a n = \frac{n + 1}{n + 3}$ per $n + 3$ .

$a n (n + 3) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$a n \cdot n + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $n$ .

$a (n \cdot n) + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$a n^{2} + a n \cdot 3 = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Passaggio 2.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $a n$ .

$a n^{2} + 3 \cdot (a n) = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Passaggio 2.2.4

Rimuovi le parentesi.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $n + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$a n^{2} + 3 a n = \frac{n + 1}{n + 3} (n + 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$a n^{2} + 3 a n = n + 1$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $n$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a n^{2} + 3 a n - n = 1$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a n^{2} + 3 a n - n - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = a$ , $b = 3 a - 1$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $n$ .

$\frac{- (3 a - 1) \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot - 1)}}{2 a}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$n = \frac{- (3 a) + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{{(3 a - 1)}^{2} - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi ${(3 a - 1)}^{2}$ come $(3 a - 1) (3 a - 1)$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{(3 a - 1) (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.5

Espandi $(3 a - 1) (3 a - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a - 1) - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a - 1) - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a \cdot a) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.2.1

Sposta $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 (a \cdot a)) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6.1.2.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{3 \cdot (3 a^{2}) + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 a \cdot - 1 - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6.1.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 1 (3 a) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 3 a - 3 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.6.2

Sottrai $3 a$ da $- 3 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 - 4 \cdot a \cdot - 1}}{2 a}$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 6 a + 1 + 4 a}}{2 a}$

Passaggio 3.5.8

Somma $- 6 a$ e $4 a$ .

$n = \frac{- 3 a + 1 \pm \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

Passaggio 3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 - \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$

$n = - \frac{3 a - 1 + \sqrt{9 a^{2} - 2 a + 1}}{2 a}$